Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1902
i

В па­рал­ле­ло­грам­ме длина одной из сто­рон вдвое боль­ше длины дру­гой, а ост­рый угол равен 60°. Боль­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма лежит в плос­ко­сти α, а его боль­шая диа­го­наль об­ра­зу­ет с этой плос­ко­стью угол, синус ко­то­ро­го равен дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те бета конец дроби , где β — угол между плос­ко­стью па­рал­ле­ло­грам­ма и плос­ко­стью α.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть мень­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD AB равна x, угол A равен 60°, сто­ро­на AD  =  2x и лежит в плос­ко­сти α. Най­дем боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

AC в квад­ра­те =x в квад­ра­те плюс 4x в квад­ра­те минус 2x умно­жить на 2x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =7x в квад­ра­те .

Зна­чит, AC=x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7. конец ар­гу­мен­та Пусть h  — рас­сто­я­ние от пря­мой BC до плос­ко­сти α. Тогда

h=x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

Вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ве­ден­ная к сто­ро­не AD равна x умно­жить на синус 60 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда

синус бета =h: дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

От­сю­да дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те бета конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: \tfrac 17 конец дроби =105.

 

Ответ: 105.


Аналоги к заданию № 1902: 1934 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2022
Сложность: IV
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: 1\.6\. Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025